Ableitung

Eine Ableitung ist im Wesentlichen die Berechnung der Änderung einer Funktion im Vergleich zu einer unendlich kleinen Veränderung der unabhängigen Variablen. In der Regel wird die unabhängige Variable als $x$ bezeichnet, und die abhängige Variable wird als $y$ bezeichnet. Die Ableitung einer Funktion $y = f(x)$ wird oft mit $f'(x)$ oder $\frac{d}{dx} f(x)$ dargestellt.

Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt entspricht der Steigung der Tangente an den Graphen dieser Funktion an diesem Punkt. Dies bedeutet, dass die Ableitung den Anstieg der Funktion an einem Punkt misst und angibt, wie sich die Funktion verändert, wenn die unabhängige Variable (in der Regel $x$) um eine sehr kleine Menge verändert wird.

Mathematisch wird die Ableitung einer Funktion $f(x)$ oft mit Hilfe von Grenzwerten berechnet. Die grundlegende Definition der Ableitung einer Funktion $f(x)$ lautet:

$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac {f(x + h) - f(x)} h$

Dabei ist $h$ eine sehr kleine Veränderung der unabhängigen Variablen $x$. Die Ableitung $f'(x)$ gibt an, wie sich die Funktion $f(x)$ ändert, wenn $x$ um eine winzige Menge $h$ verändert wird. Je kleiner $h$ ist, desto genauer ist die Berechnung der Steigung der Tangente an den Graphen von $f(x)$.

Die Ableitungen haben viele Anwendungen, einschließlich der Berechnung von Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Optimierungsproblemen, Modellierung von Veränderungen in physikalischen Systemen und vielem mehr. Sie sind ein leistungsreiches Werkzeug in der Mathematik, das es ermöglicht, komplexe Veränderungen und Beziehungen zu analysieren und zu verstehen.

Wichtige Ableitungen

Herleitung